ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32888
Темы:    [ Смешанные уравнения и системы уравнений ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу расставили 1000 чисел, среди которых нет нулей, и раскрасили их поочередно в белый и чёрный цвета. Оказалось, что каждое чёрное число равно сумме двух соседних с ним белых чисел, а каждое белое число равно произведению двух соседних с ним чёрных чисел. Чему может быть равна сумма всех расставленных чисел?


Решение 1

Пусть a, b, c, d, e – пять идущих подряд чисел, где a – чёрное. По условию  b = ac,  d = ce,  c = b + d = ac + ce = c(a + e).  c ≠ 0,  поэтому  a + e = 1.  Таким образом, сумма двух чёрных чисел, идущих в последовательности чёрных чисел через одно, равна 1. Поскольку 500 чёрных чисел можно разбить на 250 таких пар, сумма всех чёрных чисел равна 250. Осталось заметить, что сумма всех чёрных чисел вдвое больше суммы всех белых.


Решение 2

Возьмем чёрное число a и рядом с ним белое число ab. По этим числам следующие шесть восстанавливаются однозначно:  bb – ab, 1 – a,  (1 – a)(1 – b),
1 – ba(1 – b).  Сумма этих 8 чисел равна 3. Имеющиеся 1000 чисел разбиваются на 125 таких восьмёрок, отсюда ответ.


Ответ

375.

Замечания

1. Из решения 2 видно, что такие расстановки чисел действительно существуют: можно взять произвольные a и b (не равные 0 и 1) и продолжить последовательность, как в решении. Легко видеть, что получится последовательность с периодом 8. В частности, если взять  a = b = ½,  то все чёрные числа будут равны ½, а все белые – ¼.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 8
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .