ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32028
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число  m + 6  тоже хорошее, а если число n плохое, то и число  n + 15  тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?


Решение

  Предположим, что число – хорошее, а  n + 3  – плохое. Тогда с одной стороны, число  n + 18 = (n + 3) + 15  должно быть плохим, а с другой стороны, это же число  n + 18 = ((n + 6) + 6) + 6  должно быть хорошим.
  Если же число n – плохое, а  n + 3  – хорошее, то число  n + 15 = ((n + 3) + 6) + 6  должно быть одновременно и плохим и хорошим.
  Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа n и  n + 3  всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 является либо целиком хорошим, либо целиком плохим.
  Среди первых 2000 чисел каждый такой класс содержит 666 или 667 чисел. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса – больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 хороших чисел быть не может.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 06
Дата 1983
задача
Номер 01

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .