ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 31363
Темы:    [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Доказательство от противного ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).
Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.
б) То же для группы из 100 человек.
в) То же для группы из 102 человек.


Решение

  а) Рассмотрим граф с четырьмя вершинами A, B, C, D, соответствующими людям, и соединим ребрами людей, знающих общий язык. Условие означает, что каждая тройка вершин соединена хотя бы двумя рёбрами. А доказать нужно, что есть два ребра без общих вершин. Пусть это неверно.
  Первый способ. Если в тройке  (A, B, C)  проведены рёбра AB и AC, то рёбер BD и CD нет. Но тогда в тройке  (B, C, D)  не больше одного ребра. Противоречие.
  Второй способ. Всего есть 4 тройки. Каждое ребро входит в две тройки. Следовательно, рёбер не менее  4·2 : 2 = 4.  С другой стороны, каждому ребру соответствует отсутствующее "противоположное" ребро. Следовательно, рёбер не более трёх. Противоречие.

  в) Отделим двух человек, говорящих на одном языке, а остальных разобьём на четвёрки. Согласно а) каждую четвёрку можно разбить на две пары с общим языком.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Иванов С.В.
Название Математический кружок
глава
Номер 14
Название Разные задачи
Тема Неопределено
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .