Задача 31272

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел
  a) имеется бесконечно много составных чисел.
  б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

Решение

  Пусть d – разность прогрессии.

  a) Пусть a – член прогрессии, больший 1. Тогда все члены вида  a + nad  делятся на a.

  б) Пусть в прогрессии есть один точный квадрат: a². Тогда все числа вида  (a + nd)² = a² + (2a + nd)nd  принадлежат прогрессии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	42