Задача 30759

Темы:    [ Планарные графы. Формула Эйлера ] [ Деревья ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9 Название задачи: Формула Эйлера.

Условие

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

Решение

Будем удалять рёбра по одному, пока граф не превратится в дерево (как в задаче 31098 а). На каждом шаге число как число рёбер, так и число кусков уменьшается на 1 (при удалении ребра два примыкающих к нему куска сливаются в один). Поэтому величина  V – E + F  не меняется. Но для полученного дерева она равна 2, поскольку  E = V – 1  (см. задачу 31098 б), а  F = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	5
Название	Графы
Тема	Теория графов
задача
Номер	38