Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

   Решение

---

Даны числа ,,...,, причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

Доказать, что те из чисел ,,...,, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

   Решение

---

В десятичной записи целого числа A все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что A не является точным квадратом.

   Решение

---

a, b и n – натуральные числа, и n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби     делятся на n, то и сама дробь делится на n.

   Решение

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  ¹/_x – ¹/_y = ¹/_n  имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.

Решение

  Если  n = pq  (p, q > 1),  то  ¹/_n = ¹/_n–1 – ¹/_n(n–1)  и  ¹/_n = ¹/_p(q–1) – ¹/_pq(q–1).
  Если же n – простое, то  n(y – x) = xy,  и значит, xy делится на n. Поскольку  x < n,  y делится на n:  y = kn.  Тогда  x = ^kn/_k+1,  откуда  k = n – 1,  то есть имеется ровно одно решение:  (n – 1, n(n – 1)).

Источники и прецеденты использования