Задача 116922

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Известно, что числа а, b, c и d – целые и  .  Может ли выполняться равенство  аbcd = 2012?

Решение

  Преобразуем данное равенство:  (a – b)(c + d) = (a + b)(c – d)  ⇔  ad – bc = – ad + bc  ⇔  ad = bc.
  Предположим, что  аbcd = 2012.  Тогда  (аd)² = 2012,  что невозможно так как число 2012 не является квадратом никакого целого числа.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2.1