ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116898
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.


Решение

  Выберем на луче BC такие точки X и P', что  BX = BPBP' = BP + BQ. Тогда треугольник BPX – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний, и  PX = BP,  ∠PXP' = 120°.  Значит, треугольники PBQ и PXP' равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  PP' = PQ  и  ∠PP'B = ∠PQB.  Аналогично, выбрав на луче BA точку Q' так, что  BQ' = BP + BQ,  получаем, что  QQ' = QP  и  ∠QQ'B = ∠QPB  (см. рис.).

  Отложим теперь на продолжениях отрезков BP' и BQ' за точки P' и Q' отрезки  P'C' = Q'A' = PQ.  Тогда
BA' = BQ' + Q'A' = BP + BQ + PQ = BP' + P'C' = BC'.  Треугольники QQ'A' и PP'C' равнобедренные, поэтому
Q'A'Q + ∠P'C'P = ½ (∠QQ'B + ∠PP'B) = ½ (∠BPQ + ∠BQP) = 30╟.  Значит, угол между прямыми QA' и PC' равен
180° – (∠Q'A'Q + ∠P'C'P + ∠BA'C' + ∠BC'A') = 90°.  Но, если  BA' = BC' < BA,  то этот угол должен быть меньше 90°, а если  BA' > BA,  то больше. Значит,
A' = AC' = C,  и  ∠PQB = ∠PP'B = 2∠PCP' = 2∠PCQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .