Задача 116887

Темы:    [ Куб ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников.
Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

Решение

  Пусть PQKLMN – сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁, являющееся правильным шестиугольником (см. рисунок).

  Пусть прямые PN и KQ пересекаются в точке T на прямой AD. Очевидно, треугольник KTN равнобедренный. Значит,  TP = TQ,  и прямоугольные треугольники APT и AQT равны по катету и гипотенузе. Поэтому треугольник PAQ – равнобедренный прямоугольный. То же верно для треугольника KBQ. Эти треугольники равны по гипотенузе, следовательно,  AQ = BQ.  Аналогично доказывается, что остальные вершины сечения также являются серединами рёбер куба.
  Центр сечения является серединой его диагонали KN, которая совпадает с серединой диагонали BD₁ куба, то есть с центром куба.
  Заметим, что два сечения, указанных в условии задачи, имеют общий отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер куба. Действительно, всего у куба 12 рёбер. Если середины шести из них являются вершинами сечения, то из оставшихся шести точек в одной плоскости лежат не более четырёх. Поэтому два таких сечения имеют две общие вершины, которые лежат на противоположных рёбрах куба. Так как оба сечения симметричны относительно центра куба, то эти вершины лежат на противоположных рёбрах куба. Следовательно, сечения пересекаются по отрезку, соединяющему середины этих рёбер. Длина такого отрезка равна диагонали грани куба, то есть   .

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.2