ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116743
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны, и  AB = BC = BD.  Высота BK пересекает диагональ AC в точке M. Найдите ∠CDM.


Решение

  Из равенства сторон AB и BC и параллельности BC и AD следует, что AC – биссектриса угла BAD (см. рис.).

  Так как треугольник ABD – равнобедренный, то DM – биссектриса угла ADB. Пусть ∠BAD = ∠BDA = ∠DBC = 2α.

  Далее можно рассуждать по-разному:

  Первый способ. Из равнобедренного треугольника BCD получим, что  ∠CDB = 90° – α.  Тогда ∠CDM = ∠CDB + ∠MDB = 90°.

  Второй способ. Поскольку  ∠BDM = ∠BAM = ∠BCM = α,  то четырёхугольник BCDM – вписанный и  ∠CDM = 180° – ∠MBC = 90°.

  Третий способ. Аналогично началу решения покажем, что DC – биссектриса внешнего угла D. А биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.


Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-04-8
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .