ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116710
Тема:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выражении  10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1  расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким
а) наибольшим;  б) наименьшим может быть это число?


Решение

а) В результате расстановки скобок данное выражение можно будет представить в виде дроби, где некоторые из данных чисел попадут в числитель, а другие – в знаменатель. Очевидно, при любой расстановке скобок число 10 попадёт только в числитель, а 9 – только в знаменатель. Поэтому, чтобы получить наибольшее возможное число, надо все остальные числа поместить в числитель. Это возможно, и потому наибольшее значение равно
10 : (9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1) =  .

б) Если число 7 попадёт в знаменатель дроби, то получится нецелое число, поскольку эту семерку будет не с чем сократить. Следовательно, число 7 должно оказаться в числителе, и получившееся в итоге целое число будет делиться на 7. Но наименьшее целое, кратное 7, – это 7. Остальные числа можно разбить на две группы с равным произведением, причём так, чтобы числа 10 и 9 попали в разные группы:  10·6·4·3 = ·8·5·2·1.  Это равенство даёт возможность так расставить скобки, чтобы получилось как раз число 7:   10 : 9 : (8 : 7 : (6 : (5 : 4 : (3 : 2 : 1)))) = .


Ответ

а) 44800;  б) 7.

Замечания

Баллы: 2 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .