ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116578
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.


Решение

Упорядочим гири по весу:  a1 < a2 < ... < a11.  Заметим, что веса соседних гирь отличаются не меньше, чем на 1, поэтому  an ≥ am + (nm)  при  m < n.  По условию  a1 + a2 + … + a6 > a7 + a8 + … + a11 ≥ (a2 + 5) + … + (a6 + 5),  откуда  a1 > 25.  Значит,  a11a1 + 10 > 35.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .