Задача 116534

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Известно, что x, y и z – целые числа и  xy + yz + zx = 1.  Докажите, что число  (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²)  является квадратом натурального числа.

Решение

  1 + x² = xy + yz + zx + x² = (x + y)(x + z).
  Аналогично  1 + y² = (x + y)(y + z)  и  1 + z² = (x + z)(y + z).
  Таким образом,  (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) = ((x + y)(y + z)(x + z))².  Кроме того,  (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) ≥ 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.1