|
|
 |
Условие
В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK, пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что KR > MQ.
Решение
Первый способ. Построим параллелограмм KRMN (рис. слева). Тогда ∠NMQ = ∠KPQ = ∠NKQ (второе равенство – теорема об угле между касательной и хордой). Следовательно, около четырёхугольника KNQM можно описать окружность. Так как угол NKM прямой, то MN – диаметр этой окружности, а MQ – хорда, отличная от диаметра. Поэтому KR = MN > MQ.
Второй способ. Пусть точка K' диаметрально противоположна точке K (рис. справа). Тогда ∠KRM = ∠PK'K (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Кроме того, ∠PK'K = ∠PQK. Рассмотрим точку R', симметричную точке R относительно KK', тогда
∠KR'M = ∠KRM = ∠PQK = ∠PK'K = ∠MQK, значит, четырёхугольник KQR'M – вписанный.
Дальнейшее аналогично описанному выше: KR' – диаметр, а MQ – хорда, отличная от диаметра.
