ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116439
УсловиеНайдите все неотрицательные решения системы уравнений: Решение 1Сложив все уравнения системы, получим x(x – 1)² + y(y – 1)² + z(z – 1)² = 0. Отсюда x(x – 1)² = y(y – 1)² = z(z – 1)² = 0, то есть значение каждого из неизвестных может быть равно 1 или 0 (в частности, все решения целые). Теперь из системы видно, что x, y и z – одной чётности. Значит, решений не больше двух: (0, 0, 0) и (1, 1, 1). Подстановкой проверяем, что оба подходят. Решение 2Перемножив неравенства получим x²y²z² ≥ x²y²z². Следовательно, во всех исходных неравенствах должно выполняться равенство, то есть x³ = z, y³ = x, z³ = y. Отсюда z27 = z, значит, z = 0 или 1. Ответ(0, 0, 0), (1, 1, 1). Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|