ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116436
Темы:    [ Неравенство Коши ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найдите наибольшее значение выражения  x²yy²x,  если  0 ≤ x ≤ 1  и  0 ≤ y ≤ 1.


Решение

  x²y – y²x = xy(x – y) > 0   при  x > y > 0,  значит, наибольшее значение данного выражения (если оно достигается) положительно. Поэтому достаточно рассмотреть случай  0 < y < x ≤ 1.
  При этих ограничениях согласно неравенству Коши   4xy(x – y) ≤ x(y + (x – y))² = x³ ≤ 1.   Следовательно, наибольшее значение нашего выражения равно ¼ и достигается при  x = 1,  y = x – y = ½.


Ответ

¼.

Замечания

Можно также исследовать наше выражение, считая его квадратичной функцией от одной из переменных.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
Класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .