ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116435
Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

На шахматной доске расставили n белых и n чёрных ладей так, чтобы ладьи разного цвета не били друг друга. Найдите наибольшее возможное значение n.


Решение

  Докажем, что при  n > 16  осуществить указанную расстановку невозможно. Заметим, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали могут располагаться ладьи только одного цвета (либо она может оказаться свободной от ладей). Условимся обозначать горизонталь (вертикаль) тем же цветом, что и цвет ладей, стоящих на ней.
  Так как ладей больше 16, то белых горизонталей не меньше трёх.
  Если белых горизонталей ровно три, то в одной из них – не менее шести ладей, то есть белых вертикалей не менее шести, а чёрных – не больше двух. Это, как показано выше, невозможно.
  Итак, белых горизонталей – не меньше четырёх, значит, черных – не больше четырёх. То же верно и для чёрных вертикалей. Следовательно, чёрных ладей не больше 16. Противоречие.
  Пример возможной расстановки при  n = 16  см. на рисунке.


Ответ

16.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
Класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .