Задача 116327

Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки подобия ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

В ромб ABCD вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке P, пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AD соответственно в точках N, Q и M, причём  MN : NP : PQ = 7 : 1 : 2.  Найдите углы ромба.

Подсказка

Обозначьте  MN = 7x,  NP = x,  PQ = 2x  и, воспользовавшись подобием треугольников BQN и AMN, выразите через x сторону ромба.

Решение

  Пусть K, F и T – точки касания окружности со сторонами AD, AB и BC соответственно. Обозначим  NM = 7x,  NP = x,  PQ = 2x,  R – радиус окружности, O – её центр, AF = AK = a.  Тогда   MK = MP = 8x,  MA = MK – AK = 8x – a.
  Из подобия треугольников BQN и AMN находим, что  BQ = ³/₇ MA = ³/₇ (8x – a).  Значит,
BF = BT = BQ + QT = BQ + QP = ³/₇ (8x – a) + 2x = ¹/₇ (38x – 3a),  BN = BF – NF = BF – NP = ¹/₇ (31x – 3a).
  Поскольку  BN = ³/₇ AN,  то  ¹/₇ (31x – 3a) = ³/₇ (a + x).  Отсюда  a = ^14x/₃.  Значит,  AB = ¹⁰/₃ BN = ^170x/₂₁.  Из прямоугольного треугольника AOB находим, что  OF² = R² = BF·AF = 16x²,  то есть  R = 4x.  Следовательно,  sin∠ABC = ^2R/_AB = ⁸⁴/₈₅.

Ответ

2 arctg ⁶/₇ = arcsin ⁸⁴/₈₅,  π – arcsin ⁸⁴/₈₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	765