Задача 116322

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Площадь сечения ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания ABC пирамиды TABC равна 4, боковое ребро TA перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер AC и BT параллельно медиане BD грани BCT , если известно, что расстояние от вершины T до этой плоскости равно .

Решение

Плоскость грани BCT проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, значит, она пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через середину N ребра BT парараллельно BD . Эта прямая пересекает ребро CT в его середине K , поэтому = . Пусть прямая, проходящая через середину M ребра AC и точку K , пересекает прямую AT в точке P , а прямая PN пересекает ребро AB в точке L . Тогда четырёхугольник MKNL — сечение, о котором говорится в условии задачи.
По теореме Менелая · · =1 , или · · =1 , откуда = . Аналогично, · · =1 , или · · =1 , откуда =3 .
Пусть K1 и N1 — ортогональные проекции точек K и N на плоскость основания ABC . Тогда MK1N1L — ортогональная проекция сечения MKLN на плоскость основания. Если S_MKLN = S , а S_MK1LN1=s , то S= , где α — угол между плоскостями сечения и основания пирамиды.
Известно, что

=, =, == , ==,
поэтому
s=S_{Δ AML}-S_{Δ AK}1N1 = · S_{Δ ABC}- · S_{Δ ABC}=

=(· -· ) =· 4=.

Пусть AE — перпендикуляр, опущенный из точки A на ML . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах PE ML , значит, AEP — линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды, т.е. AEP=α . Кроме того, перпендикуляры TH и AF , опущенные из точек T и A на прямую PE , — перпендикуляры к секущей плоскости. Из подобия треугольников PHT и PFA находим, что AF=TH· =· 3= .
По теореме косинусов
ML== =,
а т.к.
S_{Δ AML}= · S_{Δ ABC}= · 4=,
то
AE = =.

Из прямоугольного треугольника AFE находим, что
sin α = = = ,
поэтому cos α = = . Следовательно,
S= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7325