|
|
 |
Условие
Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ – середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Обозначим точку пересечения прямой $A_1A'$ с прямой $A_2I$ через $X_A$, а описанную окружность Δ$ABC$ через $\omega$ (см. рис.). По условию $\angle A_2X_AA_1 = 90^\circ$. Так как $A_2A_1$ – диаметр, точка $X_A$ лежит на $\omega$. Рассмотрим теперь описанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$, $BIC$ и $IX_AA_1$. Радикальная ось $\omega$ и $\omega_1$ есть прямая $BC$, а $\omega_1$ и $\omega_2$ – $X_AA_1$. Значит, радикальным центром всех этих трёх окружностей является точка $A'$. Заметим, что точка $A_1$ является центром $\omega_1$ (см. задачу 53119). Так как угол $IX_AA_1$ прямой, то $IA_1$ – диаметр $\omega_2$. Следовательно, $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются в точке $I$. Значит, касательная к этим окружностям, проведённая в точке $I$, проходит через $A'$, и $A'I^2 = A'B \cdot A'C$ (по теореме о касательной и секущей).
