Информация о задаче

Задача 53119

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M. Пусть Q - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что треугольники MBQ и MCQ - равнобедренные.

Подсказка

BQ - биссектриса угла ABC.

Решение

Обозначим $\angle$ A = $\alpha$ , $\angle$ B = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ BQM = $\displaystyle \angle$ ABQ + $\displaystyle \angle$ BAQ = $\displaystyle \alpha$ /2 + $\displaystyle \beta$ /2,

$\displaystyle \angle$ QBM = $\displaystyle \angle$ QBD + $\displaystyle \angle$ DBM = $\displaystyle \angle$ QBD + $\displaystyle \angle$ MAC = $\displaystyle \beta$ /2 + $\displaystyle \alpha$ /2.

Следовательно, $\angle$ BQM = $\angle$ QBM.

Аналогично $\angle$ MCQ = $\angle$ MQC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	788