ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116205
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Kасательные к окружности в точках A и C и прямая, симметричная BD относительно точки O, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от O до противоположных сторон четырёхугольника равны.


Решение

  Пусть B' и D' – точки, симметричные B и D относительно центра окружности. По условию, прямая B'D' проходит через точку P пересечения данных касательных (см. рис.). Из подобия треугольников PD'C и PCB' следует, что  PC : PB' = CD' : CB',  а из подобия треугольников PD'A и PAB'
PA : PB' = AD' : AB'.  Поскольку  PA = PC,  то  CD'·AB' = AD'·CB'.
  Перпендикуляры, проведённые из точки O к прямым AB, BC, CD и DA, являются средними линиями треугольников ABB', CBB', CDD' и ADD' соответственно. Длины этих перпендикуляров равны соответственно  ½ AB',  ½ CB',  ½ CD'  и  ½ AD',  поэтому для них выполняется требуемое равенство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 04 (2006 год)
Дата 2006-04-2
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .