ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116191
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Hа окружности с диаметром AB выбраны точки C и D. XY – диаметр, проходящий через середину K хорды CD. Tочка M – проекция точки X на прямую AC, а точка N – проекция точки Y на прямую BD. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.


Решение

Tак как  ∠XKC = ∠XMC = 90°,  то точки X, K, C и M лежат на одной окружности и  ∠MKC = ∠MXC  (см. рис.). Tак как  XM || BC,  то  ∠MXC = ∠BCX.  Аналогично  ∠NKD = ∠ADY.  Из равенства дуг AY и BX (на них опираются равные центральные углы) следует, что  ∠NKD = ∠ADY = ∠BCX = ∠MKC,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 03 (2005 год)
Дата 2005-04-3
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .