Задача 116087

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Решение

  Pассмотрим окружности, построенные как на диаметрах на медианах AM₁ и BM₂ треугольника ABC. Пусть C₁ и C₂ – точки пересечения этих окружностей (см. рис.).

  Пусть H₁ и H₂ – вторые точки пересечения этих окружностей со сторонами BC и AC треугольника. Тогда  ∠AH₁M₁ = ∠BH₂M₂ = 90°,  поскольку они опираются на диаметры, то есть, AH₁ и BH₂ – высоты треугольника ABC.
  Треугольники CAB и CH₁H₂ подобны, следовательно,  CH₁ : CH₂ = AC : BC = CM₂ : CM₁  то есть  CM₂·CH₁ = CM₂·CH₂.  Это значит, что точка C лежит на радикальной оси указанных окружностей, то есть на прямой C₁C₂.
  Аналогично прямые AA₁ и BB₁ являются радикальными осями других пар окружностей. Таким образом, прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в радикальном центре трёх данных окружностей.

Замечания

Можно также доказать, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ содержат высоты треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	07 (2009 год)
Дата	2009-04-12
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	4