|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.
Решение 1
Проведём в треугольниках ABP и CBP средние линии C'C" и A'A", параллельные BP. Построим параллелограмм KA'A"K'. Тогда KC'C"K' – тоже параллелограмм, а K'C" и K'A" – срединные перпендикуляры к сторонам AP и CP треугольника APC. Значит, K' – центр описанной окружности этого треугольника и лежит на срединном перпендикуляре к AC. Но тогда там лежит и K.
Решение 2
Рассмотрим гомотетию (с центром в точке пересечения медиан), переводящую треугольник ABC в треугольник A'B'C', образованный его средними линиями. Эта гомотетия переводит высоты треугольника APC, опущенные из вершин A и C, в параллельные им прямые – указанные в условии перпендикуляры. Следовательно, ортоцентр треугольника APC переходит в точку K. Значит, K – ортоцентр треугольника A'B'C', то есть лежит на высоте этого треугольника, опущенной из вершины B', а это – серединный перпендикуляр к отрезку AC.
Замечания
8 баллов
