|
|
 |
Условие
В некоторой школе более 90% учеников знают английский и немецкий языки, и более 90% учеников знают английский и французский языки.
Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и французский языки, более 90% знают английский язык.
Решение 1
Пусть a школьников знают все три языка, b – только английский и немецкий, c – только английский и французский, d – только немецкий и французский. По условию a + b > 9(c + d), a + c > 9(b + d). Взяв полусумму, получим a > 9d + 4(b + c) ≥ 9d, что и требовалось.
Решение 2
Заметим, что в группе АНФ (знающих все три языка) более 80% учеников, а в каждой из групп АН (знающих только английский и немецкий) и АФ – менее 10%. Поэтому можно отчислить из школы по одному ученику из групп АН и АФ и 8 – из группы АНФ. Это не повлияет на условия задачи, а процент, который нужно оценить, только уменьшится. Поэтому процедуру можно повторять, пока одна из групп (пусть АН) не опустеет. И даже после этого группа АНФ составляет более 90% от всех оставшихся школьников.
Замечания
4 балла
