ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116026
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Площадь трапеции ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Равнобедренная трапеция описана около окружности. Докажите, что биссектриса тупого угла этой трапеции делит её площадь пополам.


Решение 1

Боковая сторона AB трапеции ABCD равна полусумме оснований BC и AD. Пусть биссектриса тупого угла B пересекает прямую AD в точке E.
AEB = ∠EBC = ∠ABE,  поэтому  AE = AB.  Следовательно, точка E лежит внутри основания AD. Площадь треугольника ABE, отсечённого биссектрисой, равна половине площади трапеции, поскольку длина стороны AB равна средней линии трапеции, а высоты треугольника и трапеции совпадают.


Решение 2

Ось симметрии трапеции и биссектриса пересекаются в центре вписанной окружности и вместе с основаниями высекают два равных прямоугольных треугольника с катетами, равными радиусу и половине меньшего основания (на рисунке они закрашены жёлтым цветом). Ось симметрии делит трапецию на две равные половинки. Прибавив к половинке один треугольник и отняв другой, получим часть, отсечённую биссектрисой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .