Задача 116020

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Фольклор

Найдите все простые числа p, q и r, для которых выполняется равенство:  p + q = (p – q)^r.

Решение

  Из условия видно, что  p + q  делится на  p – q,  следовательно,  (p + q) – (p – q) = 2q  также делится на  p – q.  Делителями числа 2q могут являться только числа 1, 2, q и 2q.
  Если  p – q = 1,  то левая часть исходного равенства больше правой. Если  p – q  равно q или 2q, то p равно 2q или 3q, то есть число р – не простое. Значит,  р – q = 2.  Тогда исходное равенство примет вид:  2q + 2 = 2^r  ⇔  q = 2^r–1 – 1.  Если  r = 2,  то  q = 1  – не простое число. Значит, r нечётно и
r – 1 = 2k.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  2^r–1 – 1 = 4^k – 1  делится на  4 – 1 = 3.  Таким образом,  q = 3.  Тогда  р = 5  и  r = 3.

  Второй способ. Так как  q = 2^2k – 1 = (2^k – 1)(2^k + 1),  то q может оказаться простым числом только в случае, когда  2^k – 1 = 1.  Значит,  k = 1,  r = 3,  q = 3,  р = 5.

Ответ

p = 5,  q = 3,  r = 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.4.3