|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD: ∠ВАС = 20°, ∠ВСА = 35°, ∠ВDС = 40°, ∠ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
Решение
Докажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC. Это можно сделать различными способами.
Первый способ. Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (рис. а). Так как ∠ВKС = ∠ВАС = 20°, то ∠KCD = ∠ВDС – ∠DKС = 20° (угол ВDС – внешний для треугольника KDC). Следовательно, DC = DK.
Аналогично, так как ∠ВKА = ∠ВСА = 35°, а ∠ВDА = 70°, то ∠KАD = 35°, то есть DK = DA.
Второй способ. На луче AD отметим точку М так, что отрезок DM = DB (рис. б). Тогда ∠
DВM = ∠BMD = ½ ∠ВDА = 35° = ∠ВСА, следовательно, точки A, B, C и M лежат на одной окружности.
Аналогично, отметив на луче CD точку Р так, что DP = DB, получим, что точка P лежит на той же окружности. Точка D равноудалена от точек В, М и Р, поэтому она является центром полученной окружности.
Третий способ. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС, что и точка D (рис. а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом α = 2∠ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом
β = 2∠ВСА = 70°.
В указанной полуплоскости эти ГМТ являются дугами окружностей, которые имеют единственную общую точку. По условию, из точки D эти же отрезки видны под такими же углами, поэтому точка D совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC.
Пусть T – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. ∠DBA = ½ (180° – ∠BDA) = 55°, угол BTC – внешний для треугольника BTА, значит, ∠ВTC = ∠TАВ + ∠АВТ = 75°.
Ответ
75°.
