|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Биссектрисы углов В и С пересекаются в точке, лежащей на отрезке AD.
Найдите AD, если АВ = 5, СD = 3.
Решение
Пусть M – точка пересечения биссектрис углов B и C.
Первый способ. Обозначим: ∠ABC = 2α, ∠ВСD = 2β, тогда ∠ADC = 180° – 2α, ∠ВAD = 180° – 2β (см. рис.).
Пусть α < β. Выберем на луче DA такую точку K, что DK = DС = 3, тогда ∠KCD = ∠CKD = α. Следовательно, K лежит между М и D и
∠CKM + ∠CBM = 180°. Значит, около четырёхугольника MKCВ можно описать окружность. Тогда ∠KBM = ∠KCM = β – α, значит,
∠ABK = β = ∠AKB, следовательно, AK = AB = 5, AD = DK + AK = 8.
Случай α > β, можно провести аналогичное рассуждение, откладывая на луче AD отрезок AK, равный АВ.
Случай α = β невозможен, иначе ABCD –
равнобокая трапеция (AB = DC), что противоречит условию.
Второй способ. Рассмотрим два случая.
1) AB || DC. Тогда ABCD –
равнобокая трапеция (ВС = AD, см. рис.). Проведём MN || AB. Из равенства накрест лежащих углов получим:
BN = NM = NC, значит, MN – средняя линия трапеции, то есть MN = ½ (AB + DC). Следовательно, AD = BC = 2MN = AB + CD = 8.
2) AB пересекает DC в точке T. Тогда M – либо центр вписанной окружности треугольника BTC, либо центр вневписанной окружности этого треугольника (см. рис.). Так как рассуждения в этих случаях полностью аналогичны, то рассмотрим только второй из них.
Пусть отрезок A'D' симметричен стороне AD относительно биссектрисы TM угла BTC. Тогда ∠DA'M = ∠D'AM = ∠TCB: так как ABCD – вписанный четырёхугольник, то A'D' || BC. Из равенства накрест лежащих углов получим, что A'M' = A'C. Аналогично, D'M = D'B, кроме того, AD' = A'D (из симметрии). Таким образом, AD = A'D' = A'M + D'M = A'C + D'B = AB + CD = 8.
Ответ
AD = 8.
