ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115866
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Б.М.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, CC1 – его биссектриса, O – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC1 с перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB, лежит на описанной окружности Ω треугольника AOB. Найдите угол C.


Решение

Пусть D – точка пересечения OC1 с указанным перпендикуляром (см. рис.). Так как D лежит на Ω и  AO = OB,  то  ∠ADC1 = ∠BDC1.  Значит,
AD : BD = AC1 : BC1 = AC : BC.  С другой стороны, так как   CDAB,  то  AC² + BD² = AD² + BC².  Из этих равенств следует, что  AC = AD,  то есть точка D симметрична C относительно AB. Значит, прямая CC1 пересекает серединный перпендикуляр к AB в точке, симметричной O. Поскольку точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра лежит на описанной окружности, получаем, что хорда AB делит перпендикулярный ей радиус пополам. Следовательно, опирающийся на эту дугу угол C равен 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2009
Тур
задача
Номер 10

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .