Задача 115695

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты.

Решение

  Пусть  CM = 5  и  CH = 4  – медиана и высота прямоугольного треугольника ABC, проведённые из вершины прямого угла. По теореме Пифагора
MH = 3.

  Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому  BM = 5.  Предположим, что
AC > BC.  Тогда точка H лежит между точками B и M, поэтому  BH = BM – MH = 2,  AH = AM + MH = 8.
  Следовательно,  BC² = BH·AB = 20,  AC² = AH·AB = 80.

Ответ

Замечания

Можно также воспользоваться формулой, полученной в задаче 53676.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3224