ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115674
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла BAD. K и L – точки её пересечения с прямыми BC и CD соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки C, K и L, лежит на окружности, проведённой через точки B, C и D.


Решение

Можно считать, что  AB < BC.  Пусть O – центр описанной окружности треугольника CKL.

KLC = ∠KAB = ∠KAD = ∠LKC,  значит, треугольники ABK и KCL – равнобедренные. Поэтому равнобедренные треугольники KCO и CLO равны (по трём сторонам). Следовательно, треугольники BKO и DCO равны (по двум сторонам и углу:
BKO = 180° – ∠CKO = 180° – ∠LCO = ∠DCO).  Значит, и  ∠OBC = ∠OBK = ∠ODC.  Точки B и D находятся по одну сторону от прямой CO (CO – биссектриса внешнего угла C треугольника BCD), следовательно, точки  B, O, C, D  лежат на одной окружности.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2565
журнал
Название "Квант"
год
Год 1986
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М1009
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант весенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .