Задача 115625

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним образом в точке C . Прямая касается первой окружности в точке A , а второй — в точке B . Прямая AC пересекает вторую окружность в точке D , отличной от C . Найдите BC , если AC=9 , CD=4 .

Решение

Пусть общая касательная к окружностям, проходящая через точку C , пересекает отрезок AB в точке M . Тогда MA=MC=MB , т.е. медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB , значит, ACB = 90^o .
Смежный с углом ACB угол BCD также равен 90^o , поэтому BD — диаметр второй окружности, а т.к. AB — касательная к этой окружности, то BD AB .
В прямоугольном треугольнике ABD отрезок BC — высота, опущенная на гипотенузу, следовательно,

BC===6.

Ответ

6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3375