Задача 115598

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Прямые AD и BC пересекают прямую MN соответственно в точках P и Q . Докажите, что если BQM = APM , то BC=AD .

Решение

При симметрии относительно прямой MN прямая BC перейдёт в прямую, проходящую через точку Q и образующую с прямой MN угол, равный углу BQM , а значит, APM . Поэтому, если B' и C' — точки, симметричные относительно MN вершинам B и C соответственно, то B'C' || AD и B'C'= BC .
Пусть K и L — середины отрезков BB' и CC' соответственно. Тогда MK и NL — средние линии треугольников ABB' и DCC' , поэтому AB' || MN || DC' .
Противоположные стороны четырёхугольника AB'C'D попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, AD=B'C'=BC . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3348