Задача 115596

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Треугольник ABC вписан в окружность. A1 — середина дуги BC , B1 — середина дуги AC , C1 — середина дуги AB . Стороны треугольника ABC высекают на отрезках A1B1 , B1C1 , A1C1 меньшие отрезки с серединами M1 , M2 , M3 . Докажите, что точки B1 , C1 и точки M1 , M3 лежат на одной окружности.

Решение

Пусть отрезок A1C1 пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Тогда

BPQ= BPA1, BQP = BQC1.
Угловая величина угла BPA1 равна полусумме угловых величин меньших дуг BA1 и AC1 , а угловая величина угла BQC1 — полусумме угловых величин соответственно равных им меньших дуг CA1 и BC1 , значит, BPQ= BQP , т.е. треугольник BPQ — равнобедренный. Его медиана BM3 является высотой и биссектрисой, поэтому точки B , M3 и B1 лежат на одной прямой и B1M3C1=90^o . Аналогично, B1M1C1=90^o , значит, из точек M3 и M1 отрезок B1C1 виден под прямым углом. Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром B1C1 . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3346