Задача 115508

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Теорема косинусов ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

Решение

  Пусть в треугольнике ABC выполнено неравенство  1 = AB < AC < BC.  Тогда медиана AA' равна высоте, опущенной из вершины B, а медиана BB' – высоте, опущенной из вершины C. Значит, расстояние от точки A' до прямой AC равно половине AA', то есть  ∠A'AC = 30°.  Аналогично  ∠B'BA = 30°.

  Пусть M – точка пересечения медиан треугольника. Поскольку  ∠A'B'M = ∠B'BA = ∠B'AM  (см. рис.), треугольники B'A'M и AA'B' подобны, то есть
(A'B')² = A'M·AA' = 3A'M².  Следовательно, угол A'MB' равен либо 120°, либо 60°.
  В первом случае треугольник ABC – равносторонний, что противоречит условию.
  Во втором случае  ∠B'A'A = ∠ A'AB = 90°,  ∠BB'A = 30°  и  AB' = AB.  Таким образом,  AC = 2AB  и  ∠A = 120°.  По теореме косинусов находим
BC =   и значит, медиана из вершины C равна    а высота из вершины A равна  

Ответ

7 : 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	73
Год	2010
класс
Класс	10
задача
Номер	2010.10.5