ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115493
Темы:    [ Подсчет двумя способами ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10  г. Найдите суммарную массу всех 18  монет на границе треугольника.



Решение






Первое решение. Возьмём ромбик из 4 монет. Как видно из рис., массы двух монет в нём равны. Рассматривая такие ромбики, получаем, что если покрасить монеты в 3 цвета, как на рис., то монеты одного цвета будут иметь одинаковую массу.
Теперь легко найти и сумму масс монет на границе: там имеется по 6 монет каждого цвета, а сумма масс трёх разноцветных монет равна 10 г; значит, суммарная масса монет на границе равна 6· 10=60  г.




Второе решение.. Все монеты без центральной можно разбить на 9 троек (рис.), а все внутренние монеты без центральной — на 3 тройки (рис.). Значит, монеты на границе весят столько же, сколько 9-3=6 троек, т.е. 60 г.

Ответ

60  г.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 8
задача
Номер 2010.8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .