ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115340
Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Вписанные четырехугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O — центр описанной окружности вписанного четырёхугольника ABCD . Известно, что ABC > ADC и AOC = BAD = 110o . Докажите, что AB+AD>CD .

Решение

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180o и ABC> ADC , поэтому

ADC = 180o- ABC = 180o - = 180o - (360o- ABC) =


=180o - (360o- AOC)= AOC = · 110o= 55o, ABC = 180o-55o = 125o.

Тогда
ABC + BAD = 125o+110o> 180o,

значит, продолжения сторон AD и BC за точки A и B пересекаются в некоторой точке K , причём эта точка и четырёхугольник ABCD лежат по разные стороны от прямой AB . В треугольнике AKB известно, что
KAB = 180o- DAB = 180o-110o= 70o,


KBA = 180o- ABC = 180o-125o= 55o,


AKB = 180o- 70o-55o= 55o,

значит, этот треугольник — равнобедренный, AK=AB . В треугольнике CKD известно, что
CKD = 55o, DCK = KAB = 70o> CKD,

значит, DK>CD , а т.к. DK=AD+AK=AD+AB , то AB+AD>CD . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6344

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .