Задача 115336

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC отмечена точка M так, что при этом  ∠BAM = ∠B,  ∠AMB = 100°,  ∠C = 70°.  Докажите, что  BM < AC.

Решение

  На луче BC отложим отрезок BK, равный AM. Треугольник AKB равен треугольнику BMA по двум сторонам и углу между ними, значит,
∠BAK = ∠MBA < ∠B = ∠BAM < ∠A.  Следовательно, луч AK проходит между сторонами угла A, поэтому точка K лежит на отрезке BC. Из равенства треугольников AKB и BMA следует, что  ∠AKB = ∠AMB = 100°,  поэтому  ∠AKC = 180° – ∠AKB = 180° – 100° > 70° = ∠ ACK.
  В треугольнике AKC против большего угла AKC лежит большая сторона AC, то есть AC > AK = BM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6340