|
|
 |
Условие
Назовём последовательность натуральных чисел интересной, если каждый её член, кроме первого, является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних с ним членов. Сеня начал последовательность с трёх натуральных чисел, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Он хотел бы
продолжить свою последовательность до бесконечной интересной последовательности, которая ни с какого момента не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.
Может ли оказаться, что этого нельзя сделать?
Решение
Первые три члена a1, a2, a3 образуют возрастающую геометрическую прогрессию и, значит, имеют вид a, aq, aq² для некоторого q > 1. Далее последовательность будем продолжать таким образом, чтобы третий член был средним арифметическим своих соседей, четвёртый – средним геометрическим своих соседей, пятый – средним арифметическим и так далее, чередуя. Легко видеть, что последовательность будет возрастающей.
Докажем, что возникающая последовательность состоит из натуральных чисел. Так как третий член есть среднее арифметическое своих соседей, получаем
a4 = 2a3 – a2 = 2aq² – aq = aq(2q – 1).
Ясно, что это число целое (как сумма целых чисел), а так как исходная последовательность была возрастающей – даже натуральное. Далее, так как a4 – среднее геометрическое своих соседей,
Так как числа a1, a2, a3 целые, то и a5 – тоже целое, а так как последовательность возрастает – даже натуральное.
Три последних члена a3, a4, a5 опять образуют геометрическую прогрессию. Поэтому, в силу доказанного выше, a6 и a7 снова окажутся натуральными, и при этом a5, a6, a7 образуют геометрическую прогрессию. Продолжая, получим бесконечную
последовательность натуральных чисел, в которой каждый чётный член есть
среднее геометрическое своих соседей, а каждый нечётный (кроме самого
первого) – среднее арифметическое.
Осталось заметить, что, так как среднее арифметическое двух различных чисел не равно среднему геометрическому, то наша последовательность ни с какого
места не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.
Ответ
Не может.
Замечания
1. Эту же идею можно довести до решения другим образом.
a1, a2, a3 образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Тогда её знаменатель равен отношению двух первых членов, значит, это рациональное число, большее 1. Пусть он равен несократимой дроби 1 + k/n. Тогда первый член прогрессии должен делиться на n². Пусть он равен an². Тогда a2 = an(n + k), a3 = a(n + k)². Такую последовательность можно продолжить следующим образом: a2i+1 = a(n + ik)²,
a2i = a(n + (i – 1)k)(n + ik). Легко видеть, что каждый член этой последовательности с чётным номером является средним геометрическим, а каждый член с нечётным номером является средним арифметическим своих соседей.
2. Ср с задачей 111918.
