ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111786
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.


Решение

Предположим, что восьмой отрезок не равен остальным, и это отрезок CK, где ABCD – данный четырёхугольник, а точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно (см. рис.). Тогда в равнобедренных треугольниках ALD и BNC отрезок LN является медианой, а поэтому и высотой. Далее, прямоугольные треугольники ALN и BNL равны по гипотенузе и катету, отсюда  AN = BL,  значит, ANLB – прямоугольник. Аналогично DNLC – прямоугольник, и, значит, ABCD – прямоугольник. Из доказанного вытекает, что прямоугольные треугольники DKA и CKB равны по двум катетам, отсюда  CK = DK  вопреки нашему предположению.

Замечания

1. Можно завершить решение по-другому. После доказательства того, что LN – серединный перпендикуляр к AD и BC, ясно, что четырёхугольник симметричен относительно LN; тогда все восемь рассматриваемых отрезков разбиваются на пары симметричных, и количество равных отрезков должно быть чётно.

2. Из условия вытекает, что данный четырёхугольник – квадрат.

3. Утверждение задачи можно усилить: равенство всех восьми отрезков следует из равенства пяти из них.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.4.8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .