Задача 111767
|
|
 |
Условие
На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?Решение
Два возможных примера из шести точек показаны на рисунке (существуют и другие примеры). Предположим, что точек хотя бы 7; тогда найдутся три точки одного цвета. Согласно условию, они не лежат на одной прямой, поэтому они образуют треугольник. Рассмотрим треугольник ABC наименьшей площади, у которого все три вершины одноцветны (пусть они синие; см. рис.). Тогда внутри него нет синих точек. На каждой из его сторон BC , AC , AB есть по точке другого цвета (обозначим их A1 , B1 , C1 соответственно). Если все они одноцветны, то образовался одноцветный треугольник меньшей площади, что невозможно. Поэтому можно без ограничения общности считать, что A1 и C1 – желтые, а B1 – зеленая. Далее, на отрезке A1C1 есть нежелтая точка B2 . По замеченному выше она не может быть синей – значит, она зеленая. Тогда на отрезке B1B2 есть незеленая точка X . Она также не синяя – значит, она желтая. Но тогда треугольник A1C1X имеет желтые вершины и площадь, меньшую площади ABC – противоречие.
