ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 111770  (#07.4.11.1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111763  (#07.4.11.2)

Темы:   [ Вычисление производной ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111764  (#07.4.11.3)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111765  (#07.4.11.4)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На столе лежат купюры достоинством 1, 2, .. , 2n тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111766  (#07.4.11.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число  an + bn + cn  – простое?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .