Условие
Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их
в точках
A и
B . Точки
X ,
Y на окружностях таковы, что
существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем
одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите
геометрическое место точек пересечения прямых
AX и
BY .
Решение
Точки
X ,
Y являются центрами гомотетии каждой из данных
окружностей с касающейся. Следовательно, прямая
XY проходит через центр
гомотетии данных окружностей, т.е. точку пересечения
AB с линией центров.
Пусть
Y' — отличная от
Y точка пересечения этой прямой с второй
окружностью. Тогда
BY'|| AX и
XYB= Y'BA=π- BAX .
Поэтому четырехугольник
AXYB — вписанный и точка
P пересечения прямых
AX и
BY является радикальным центром данных окружностей и окружности,
описанной около этого четырехугольника, т.е. лежит на радикальной оси данных
окружностей.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2008 |
|
тур |
|
задача |
|
Номер |
16 |
