ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111719
Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Решение

Пусть O  — центр описанной окружности треугольника ABC, H  — его ортоцентр, и прямая OH параллельна биссектрисе угла C . Так как эта биссектриса пересекает описанную окружность в середине C' дуги AB , OC' AB , т.е. четырехугольник OC'CH  — параллелограмм и CH = OC' = R . С другой стороны, CH = 2R | cos C| , значит угол C равен 60o или 120o . Но в первом случае лучи CO и CH симметричны относительно биссектрисы угла C , так что прямая OH не может быть параллельна этой биссектрисе. Следовательно, C = 120o .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2008
тур
задача
Номер 14

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .