Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Площади трёх из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвёртого треугольника. Найдите площадь данного четырёхугольника.

   Решение

---

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

   Решение

---

Три стороны четырёхугольника в порядке обхода равны 7, 1 и 4.
Найдите четвёртую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его диагонали перпендикулярны.

   Решение

---

Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.

   Решение

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел предвтавляет собой точный квадрат.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если S1 , S2 , S3 и S4 — площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S1· S3=S2· S4 . Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P . Обозначим

S_{Δ ABP}=S1, S_{Δ BCP}=S2, S_{Δ CPD}=S3, S_{Δ ADP}=S4.
У треугольников ABP и BCP общая высота, проведённая из вершины B , поэтому = . Аналогично, = . Поэтому = , или = . Следовательно, S1· S3=S2· S4 . Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче. Так как S1· S3=S2· S4 , то
S1S2S3S4= S1S3· S2S4= S1S3· S1S3= (S1S3)2,
причём S1S3 — целое число.

Источники и прецеденты использования