Задача 111611

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .

Решение

Положим ME = 3t , EF=12t , FN=4t . Пусть P и Q – середины рёбер AB и CD соответственно. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, перпендикулярен этим рёбрам, его длина равна , где a – длина ребра тетраэдра. Обозначим PE = x , FQ=y . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд шара AE· EB = ME· EN , CF· FD = NF· FM , или

(-x)(+x)=3t· 16t, (-y)(+y)=4t· 15t.

-x2 = 48t2, -y2 = 60t2,
откуда x2+y2 = -108t2 . Из прямоугольных треугольников EPQ и FQP находим, что
144t2= EF2=EP2+PF2 = EP2+(PQ2+QF2) = x2+ + y2.
Тогда 144t2 = -108t2 + , откуда t2 = , t = . Следовательно, EF = 12t = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8987