ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111602
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Неравенство треугольника ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. Точка K – середина стороны AB, точка M лежит на стороне BC, причём  BM : MC = 1 : 3.  На стороне AC выбрана точка P так, что периметр треугольника PKM – наименьший из возможных. В каком отношении точка P делит сторону AC?


Решение

Поскольку сторона KM треугольника ABC фиксирована, необходимо найти на стороне AC такую точку P, чтобы сумма  KP + PM  была наименьшей из возможных. Пусть M' – точка, симметричная точке M относительно прямой AC. Согласно задаче 55557 точка пересечения отрезка KM' со стороной AC – искомая точка P.
  Пусть сторона треугольника ABC равна 4a. Тогда  CM = 3a  и  AK = 2a.  Точка M' симметрична точке M относительно прямой AC, поэтому
CM' = CM = 3a,  а так как  ∠ACM' = ∠C = 60° = ∠KAP,  то треугольник AKP подобен треугольнику CM'P по двум углам. Следовательно,
AP : PC = AK : CM' = 2 : 3.


Ответ

2 : 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4697

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .