Задача 111457

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основания равнобочной трапеции относятся как 3:2. На большем основании как на диаметре построена окружность, высекающая на меньшем основании отрезок, равный половине этого основания. В каком отношении окружность делит боковые стороны трапеции?

Решение

Пусть окружность с центром O , построенная на большем основании AD равнобедренной трапеции ABCD как на диаметре, высекает на меньшем основании BC отрезок MN ( M между N и C ). Положим MC = a , тогда BN=a , MN=2a , BC=4a , AD = 6a , т.е. радиус окружности равен 3a . Если H – проекция вершины C трапеции на большее основание AD , а P – проекция точки O на основание BC , то

HD = (AD-BC) = (6a-4a) = a, PM = MN=a, CH=OP.
Прямоугольные треугольники CHD и OPM равны по двум катетам, поэтому CD=OM=3a Пусть окружность пересекает боковую сторону CD трапеции в точке K , отличной от C . Обозначим CK=x . Поскольку CKD и CMN – секущие, проведённые к окружности из одной точки,
CK· CD = CM· CN, x· 3a = a· 3a,
откуда x = a . Тогда
KD = CD-CK = 3a- a = 2a.
Следовательно, = . Аналогично для боковой стороны AB .

Ответ

1:2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4563